注意

本题是 2025 年全国高中数学联赛一试试题（A 卷），该比赛举办于 2025 年 9 月 14 日早上 8:00 - 9:20，时长 80 分钟。原比赛共有 11 道题目，第 1 - 8 题（填空题）每题 8 分，第 9 题（解答题，下同）满分 16 分，第 10 题满分 20 分，第 11 题满分 20 分，共计 120 分。

本题相较于原比赛删除了第 11 题（因为该题为证明题），总分 100 分，分值分配与原比赛保持一致。

在本题中，你需要使用 $\LaTeX$ 公式填写答案，格式如下：

• 参考 $\LaTeX$ 公式：$\bm{\cup}$（\cup），$\bm \pm$（\pm），$\bm{\dfrac{1}{2}}$（\dfrac{1}{2}），$\bm{\sqrt{3}}$（\sqrt{3}），$\bm{\{4\}}$（\{4\}）
• 两端的 $ 符号和中间的空格一律省略。
• 有多个答案的用 / 隔开。

题目

1. 若 $\log_{3}(9x),\log_{9}(27x),\log_{27}(3x)$ 成等差数列，$x \in \mathbb R_+$，则 $x$ 等于多少？
2. 若 $A=\{x\ |\ x \in \mathbb N_+,x \le 100\}$，$B=\{x^2+2^x\ |\ x \in A\}$，则 $\text{card}(A \cup B)$ 等于多少？
3. 若 $F_1,F_2$ 为椭圆 $\Gamma_1:\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{25}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $\Gamma_1$ 上，点 $Q$ 是线段 $F_1P$ 与椭圆 $\Gamma_2:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{14}=1$ 的交点，$C_{\triangle F_2QP}=8$，则 $|F_1Q|$ 等于多少？
4. 若有函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$，满足 $g(x)=(x-1)f(x)$ 为奇函数，$h(x)=f(x)+x$ 为偶函数，则 $\displaystyle\max_{x \in \mathbb R}f(x)$ 等于多少？
5. 若 $k \in \mathbb N_+$ 满足 $\left(\dfrac{\sin 20^\circ}{\cos 25^\circ}+\dfrac{\sin 25^\circ}{\cos 20^\circ} \text i\right)^k \in \mathbb R$，则 $k_{\min}$ 等于多少？
6. 设 $\Gamma$ 为某个四棱柱，从 $\Gamma$ 中均匀随机选取两个不同的棱 $l_1,l_2$，则 $P(l_1\ /\!/\ l_2)$ 的所有可能取值分别有哪些？
7. 若某个欧式平面上的三个单位向量 $\bm a,\bm b,\bm c$ 满足 $\bm a \cdot \bm b = [\bm a \cdot \bm c] + [\bm b \cdot \bm c] $，则 $|\bm a+\bm b+\bm c|$ 的取值范围是什么？
8. 若需要取出 $1 \sim 9$ 这 $9$ 种数码各一个，将它们组成三个和为 $2025$ 的有序三位数，则方案有多少种？
9. 设平面上有三个互不重合的点 $P,M,Q \in \{(x,y)\ |\ y^2=2x+2|x|\}$，$M$ 为 $QP$ 中点，$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}=-2$，$O(0,0)$，则 $M$ 的坐标是什么？
10. 若正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $2$，$P,Q,M$ 分别在线段 $AB,AC,AD$ 上，$AP+AQ=2AM=2$，则 $M$ 到 $QP$ 的距离最小是多少？

答题区

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