#P14. [CSP-S 2021] Starred bracket sequence

[CSP-S 2021] Starred bracket sequence

题目描述

小 w 在赛场上遇到了这样一个题:一个长度为 nn 且符合规范的括号序列,其有些位置已经确定了,有些位置尚未确定,求这样的括号序列一共有多少个。

身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题,不仅如此,他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了,于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小 c。

具体而言,小 w 定义“超级括号序列”是由字符 ()* 组成的字符串,并且对于某个给定的常数 kk,给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下:

  1. ()(S) 均是符合规范的超级括号序列,其中 S 表示任意一个仅由不超过 k\bm{k} 字符 * 组成的非空字符串(以下两条规则中的 S 均为此含义);
  2. 如果字符串 AB 均为符合规范的超级括号序列,那么字符串 ABASB 均为符合规范的超级括号序列,其中 AB 表示把字符串 A 和字符串 B 拼接在一起形成的字符串;
  3. 如果字符串 A 为符合规范的超级括号序列,那么字符串 (A)(SA)(AS) 均为符合规范的超级括号序列。
  4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。

例如,若 k=3k = 3,则字符串 ((**()*(*))*)(***) 是符合规范的超级括号序列,但字符串 *()(*()*)((**))*)(****(*)) 均不是。特别地,空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 nn 的超级括号序列,其中有一些位置的字符已经确定,另外一些位置的字符尚未确定(用 ? 表示)。小 w 希望能计算出:有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法,使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列?

可怜的小 c 并不会做这道题,于是只好请求你来帮忙。

输入格式

第一行,两个正整数 n,kn, k

第二行,一个长度为 nn 且仅由 ()*? 构成的字符串 SS

输出格式

输出一个非负整数表示答案对 109+7{10}^9 + 7 取模的结果。

样例

7 3
(*??*??
5
10 2
???(*??(?)
19

提示

【样例解释 #1】

如下几种方案是符合规范的:

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

【样例 #3】

见选手目录下的 bracket/bracket3.in 和 bracket/bracket3.ans。

【样例 #4】

见选手目录下的 bracket/bracket4.in 和 bracket/bracket4.ans。

【数据范围】

测试点编号 nn \le 特殊性质
131 \sim 3 1515
484 \sim 8 4040
9139 \sim 13 100100
141514 \sim 15 500500 SS 串中仅含有字符 ?
162016 \sim 20

对于 100%100 \% 的数据,1kn5001 \le k \le n \le 500